今さら聞けない医学統計の基本

医学統計の基本シリーズ第3回：
相関と回帰の基本 解説3

下記のように、2つの変数の関係が一直線でなく曲線になっている場合は、「回帰曲線（regression curve）」とよばれます。
一見難しそうだけど、回帰曲線の解釈も直線の場合と同じだよ。

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図　回帰曲線の例

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直線と曲線、どちらが適しているか迷う場合はどうすれば良いのでしょうか？

その場合は、それぞれの「決定係数（coefficient of determination：R2）」を求め、値の大きいほうを採用します。

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決定係数の求め方

  1. 回帰式から得られるyの予測値と実測値の散布図を作る
  2. プロットをもとに相関係数rを求める
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3. rを2乗することで決定係数R2が求められる

決定係数は0≦R2≦1の範囲をとり、1に近いほど回帰式の予測精度が高いと判定できるんだ。

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なるほど～！ありがとうございました！

先生方のおかげで「相関」と「回帰」の基本を整理することができました！

では、最後に今回のまとめです。

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第3回　「相関と回帰の基本」　まとめ

1.  相関は２つの変数の直線関係を調べる解析法

  • 相関関係を評価するためには、まず散布図を作成する
  • 相関関係の強さを表す値は「相関係数」と呼ばれ、r（アール）と表現される

2.  rの特徴と解釈

  • 相関係数rは－1≦r≦1の範囲の値をとる
  • r値がプラスは正の相関、マイナスは負の相関を意味する
  • rが１または－１に近いほど２つの変数は直線に近くなり、強い相関があると解釈する

3.  ２つの相関係数

  • ピアソンの積率相関係数（Pearson’s product moment correlation coefficient）２つの変数の分布が“どちらも”正規分布とみなせる場合に利用される
  • スピアマンの順位相関係数（Spearman’s rank correlation coefficient）２つの変数の分布の“どちらか又は両方”が正規分布とみなせない場合に利用される

4.  相関の強さと仮説検定

  • r値を使った相関の強さの判断基準は厳密には決められていない
  • 2つの変数に「統計的に有意な」相関関係があるかどうかは仮説検定を利用可能
  • ただし、統計的に有意(p<0.05)な相関関係でも臨床的に価値がない場合もある
  • 例：数千例で計算したr=0.1（弱い相関）

5.  回帰は1つの項目(変数)の値から、もう1つの項目(変数)の値を予測するための解析法
例：BMIの値から血中コレステロール濃度を予測する

6.  回帰直線は、直線式y=a＋b xで表され、xの値からyの値を予測する

  • 回帰直線に信頼区間曲線を追加して、あるxからyの平均値と信頼区間を推定可能

7.  2つの変数の関係が一直線でなく曲線の場合は回帰曲線でxからyを推定する

8.  回帰直線と回帰曲線のどちらが適しているかを判断するために「決定係数（coefficient of determination：R2）」を利用する

  • 決定係数R2は回帰式から得られるyの予測値と実測値の相関係数rの2乗
  • 決定係数は0≦R2≦1の範囲をとる
  • 決定係数R2が1に近いほど回帰式の予測精度が高いと判断する
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